Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés
P(n) un énoncé de variable n entier naturel défini pour tout entier n supérieur ou égale à n 0. Si l'on demande de montrer que l'énoncé P(n) est vrai pour tout n supérieur ou égal à n 0, nous pouvons penser à un raisonnement par récurrence et conduire comme suit le raissonnement: i) Vérifier que P(n 0) est vrai ii) Montrer que quelque soit l'entier p ≥ n 0 tel que P(p) soit vrai, P(p+1) soit nécessairement vrai aussi alors nous pouvons conclure que P(n) est vrai pour tout entier n ≥ n 0. 3) Exercices de récurrence a) exercice de récurrence énoncé de l'exercice: soit la suite numérique (u n) n>0 est définie par u 1 = 2 et pour tout n > 0 par la relation u n+1 = 2u n − 3. Démontrer que pour tout entier n > 0, u n = 3 − 2 n−1. Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant: « u n = 3 − 2 n−1 », montrons qu'il est vrai pour tout entier n > 0. Récurrence: i) vérifions que P(1) est vrai, c'est-à-dire a-t-on u 1 = 3 − 2 1−1? par définition u 1 = 2 et 3 − 2 1−1 = 3 - 2 0 = 3 - 1 = 2 donc u 1 = 3 − 2 1−1 et P(1) est bien vrai.
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Raisonnement Par Récurrence Somme Des Cartes Réseaux
Cours de terminale Nous avons introduit les suites en première afin d'étudier les phénomènes répétitifs: nous avons vu ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et nous avons étudié les suites arithmétiques et géométriques. Puis, dans le premier cours de terminale, nous avons introduit la notion de convergence et nous avons appris à calculer des limites de suites. Dans ce cours, nous allons voir ce que sont des suites adjacentes, puis nous verrons des propriétés de convergence des suites et étudierons plus précisément le cas des suites définies par une relation de récurrence. Cela nous amènera ensuite à parler du raisonnement par récurrence qui permet de réaliser des démonstrations de propriétés mathématiques. Vocabulaire Pour rappel, une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
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L'étude de quelques exemples ne prouve pas que $P_n$ est vraie pour tout entier $n$! La preuve? Nous venons de voir que $F_5$ n'est pas un nombre premier. Donc $P_5$ est fausse. Nous allons voir qu'un raisonnement par récurrence permet de faire cette démonstration. 2. Principe du raisonnement par récurrence Il s'agit d'un raisonnement « en escalier ». On démontre que la proriété $P_n$ est vraie pour le premier rang $n_0$ pour démarrer la machine. Puis on démontre que la propriété est héréditaire. Si la propriété est vraie à un rang $n$ donné, on démontre qu'elle est aussi vraie au rang suivant $n+1$. Définition. Soit $n_0$ un entier naturel donné. Pour tout entier naturel $n\geqslant n_0$. On dit que la proposition $P_{n}$ est héréditaire à partir du rang $n_0$ si, et seulement si: $$\color{brown}{\text{Pour tout} n\geqslant n_0:\; [P_{n}\Rightarrow P_{n+1}]}$$ Autrement dit: Pour tout entier $n\geqslant n_0$: [Si $P_{n}$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie]. Ce qui signifie que pour tout entier $n$ fixé: Si on suppose que la proposition est vraie au rang $n$, alors on doit démontrer qu'elle est vraie au rang $(n+1)$.
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$$ Exemple 4: inégalité de Bernoulli Exercice 4: Démontrer que:$$\forall x \in]-1;+\infty[, \forall n \in \mathbb{N}, (1+x)^n\geq 1+nx. $$ Exemple 5: Une somme télescopique Exercice 5: Démontrer que:$$ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{n}{n+1}. $$ Exemple 6: Une dérivée nième Exercice 6: Démontrer que:$$ \forall n\in \mathbb{N}, \cos^{(n)}(x)=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2}) \text{ et} \sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2}). $$ Exemple 7: Un produit remarquable Exercice 7: Démontrer que:$$ \forall x\in \mathbb{R}, \forall n\in \mathbb{N} ~ x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+... +a^{n-1}). $$ Exemple 8: Arithmétique Exercice 8: Démontrer que:$$ \ \forall n\in \mathbb{N} ~ 3^{n+6}-3^n \text{ est divisible par} 7. $$ Vues: 3122 Imprimer
ii) soit p un entier ≥ 1 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc par hypothèse u p = 3 − 2 p−1. Montrons alors que P(p+1) est vrai, c'est-à-dire que u p+1 = 3 − 2 (p+1)−1. calculons u p+1 u p+1 = 2u p − 3 (définition de la suite) u p+1 = 2(3 − 2 p−1) − 3 (hypothèse de récurrence) u p+1 = 6 − 2 × 2 p−1 − 3 = 3 − 2 p−1+1 = 3 − 2 p d'où P(p+1) est vrai Conclusion: P(n) est vrai pour tout entier n > 0, nous avons pour tout n > 0 u n = 3 − 2 n−1. b) exercice démonstration par récurrence de la somme des entiers naturels impairs énoncé de l'exercice: Calculer, pour tout enier n ≥ 2, la somme des n premiers naturels impairs. Nous pouvons penser à une récurrence puisqu'il faut établir le résultat pour tout n ≥ 2, mais la formule à établir n'est pas donnée. Pour établir cette formule, il faut calculer les premiers valeurs de n et éssayer de faire une conjecture sur le formule à démontrer (essayer de deviner la formule) et ensuite voir par récurrence si cette formule est valable. pour tout n ≥ 2, soit S n la somme des n premiers naturels impairs.
Puisque l'entier impair qui suit 2 n -1 est 2 n +1, on en déduit que: 1+3+ … + (2 n -1) + (2 n +1) = n 2 +2 n +1= ( n +1) 2, c'est-à-dire que la propriété est héréditaire. Exemple 2: Identité du binôme de Newton Précautions à prendre L'initialisation ne doit pas être oubliée. Voici un exemple un peu ad hoc mais qui illustre bien ceci. On montre facilement que les propriétés « 3 2n+6 - 2 n est un multiple de 7 » et « 3 2n+4 - 2 n est un multiple de 7 » sont toutes deux héréditaires. Cependant la première est vraie pour tout entier naturel n, alors que la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui... ) ne l'est pas car elle n'est jamais initialisable: en effet, en n =0 on a 3 4 - 1 = 80, qui n'est pas divisible par 7. Pour la première proposition: on vérifie que si n = 0, 3 6 - 2 0 est bien un multiple de 7 (728 est bien un multiple de 7); on montre que si 3 2n+6 - 2 n est un multiple de 7, alors 3 2n+8 - 2 n+1 est un multiple de 7:.